锐角三角形函数坡度的定义,锐角三角函数知识点

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锐角三角函数知识点

锐角三角函数的定义

锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec),(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。

正弦等于对边比斜边

余弦等于邻边比斜边

正切等于对边比邻边

余切等于邻边比对边

正割等于斜边比邻边

余割等于斜边比对边

正切与余切互为倒数

它的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系。

由于三角函数的周期性,它并不具有单值函数意义上的反函数。

它有六种基本函数(初等基本表示):

函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割

在平面直角坐标系xOy中,从点O引出一条射线OP,设旋转角为θ,设OP=r,P点的坐标为(x,y)有

正弦函数 sinθ=y/r

余弦函数 cosθ=x/r

正切函数 tanθ=y/x

余切函数 cotθ=x/y

正割函数 secθ=r/x

余割函数 cscθ=r/y

(斜边为r,对边为y,邻边为x。)

以及两个不常用,已趋于被淘汰的函数:

正矢函数 versinθ =1-cosθ

余矢函数 coversθ =1-sinθ

锐角三角函数的性质

1、锐角三角函数定义

锐角角A的正弦,余弦和正切都叫做角A的锐角三角函数

2、互余角的三角函数间的关系。

sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,

tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.

3、同角三角函数间的关系

平方关系:sin2α+cos2α=1

倒数关系:cotα=(或tanα·cotα=1)

商的关系:tanα= , cotα=.

(这三个关系的证明均可由定义得出)

4、三角函数值

(1)特殊角三角函数值

(2)0°~90°的任意角的三角函数值,查三角函数表。

(3)锐角三角函数值的变化情况

(i)锐角三角函数值都是正值

(ii)当角度在0°~90°间变化时,

正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)

余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)

正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)

余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)

(iii)当角度在0°≤α≤90°间变化时,

0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,

当角度在0°<α<90°间变化时,

tanα>0, cotα>0.

锐角三角函数单元试测试题

一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)

1.一段公路的坡度为1︰3,某人沿这段公路路面前进100米,那么他上升的最大高度是

( D )

A.30米 B.10米 C. 米 D. 米

2.如图,坡角为 的斜坡上两树间的水平距离AC为 ,则两树间的坡面距离AB为

( C )

A. B. C. D.

3.如图,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)

在她家北偏东60度500m处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB是( A )

A.250m B. m C. m D. m

4.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=2,AC=3,则sinB的值是( C )

A. 2 3 B. 3 2 C. 3 4 D. 4 3

( 第2题 ) ( 第3题) ( 第4题)

5.如果∠A是锐角,且 ,那么∠A=( B )

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

6. 等腰三角形的一腰长为 ,底边长为 ,则其底角为( A )

A. B. C. D.

7.若平行四边形相邻两边的长分别为10和15,它们的夹角为60°,则平行四边形的面积

是( B )

A.150 B. C. 9 D. 7

8.在△ABC中,∠C=90°,BC=2, ,则边AC的长是( A )

A. B.3 C. D.

9.如图,两条宽度均为40 m的公路相交成α角,那么这两条公路在相交处的公共部分(图

中阴影部分)的路面面积是( A )

A. (m2) B. (m2) C.1600sinα(m2) D.1600cosα(m2)

10.如图,延长Rt△ABC斜边AB到D点,使BD=AB,连结CD,若 tan∠BCD= ,则tanA=( C )

A.1 B. C. D.

( 第9题 ) ( 第10题)

二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分)

11.已知 为锐角, sin( )=0.625, 则cos =___ 0.625 。

12.如图,一架梯子斜靠在墙上,若梯子底端到墙的距离AC=3米,cos∠BAC= ,则梯子长AB = 4 米。

13.一棵树因雪灾于A处折断,如图所示,测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米,

∠ABC约45°,树干AC垂直于地面,那么此树在未折断之前的高度约为 米

(答案可保留根号)。

14.如图,张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为 ,旗杆底部

点的俯角为 .若旗杆底部 点到建筑物的’水平距离BE=9 米,旗杆台阶高1米,

则旗杆顶点 离地面的高度为 米(结果保留根号)。

(第12题) (第13题) (第14题)

三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)

15.如图所示,某超市在一楼至二楼之间安装有电梯,天花板与地面平行,请你根据图中数

(可能用到的参考数值:sin27°=0.45,cos27°=0.89,tan27°=0.51)

15.作CD⊥AC交AB于D,则∠CAB=27°,在Rt ACD中,

CD=ACtan∠CAB=4×0.51=2.04(米)

所以小敏不会有碰头危险。

16.已知:如图,在 ABC中,∠B = 45°,∠C = 60°,AB = 6。求BC的长(结果保留根号)。

16.解:过点A作AD⊥BC于点D。

在Rt△ABD中,∠B =45°,

∴AD = BD=AB sinB= 。

在Rt ACD中,∠ACD = 60°,

∴tan60°= ,即 ,解得CD = 。

∴BC = BD + DC = + 。

四、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)

17.如图,在某建筑物AC上,挂着“美丽家园”的宣传条幅BC,小明站在点F处,看条幅

顶端B,测的仰角为 ,再往条幅方向前行20米到达点E处,看到条幅顶端B,测的

仰角为 ,求宣传条幅BC的长,(小明的身高不计,结果精确到0.1米)

17.解: ∵∠BFC = ,∠BEC = ,∠BCF =

∴∠EBF =∠EBC = , ∴BE = EF = 20

在Rt⊿BCE中,

答:宣传条幅BC的长是17.3米。

18.如图,甲船在港口 的北偏西 方向,距港口 海里的 处,沿AP方向以12

海里/时的速度驶向港口P.乙船从港口P出发,沿北偏东45°方向匀速驶离港口P,

现两船同时出发,2小时后乙船在甲船的正东方向。求乙船的航行速度。(精确到0.1

海里/时,参考数据 , )

18.依题意,设乙船速度为 海里/时,2小时后甲船在点B处,乙船在点C

处,作 于 ,则 海里, 海里。

在 中, ,

在 中, ,∴ ,

∴ ,∴ 。

答:乙船的航行速度约为19.7海里/时。

五、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)

19.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,

顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜。请你

在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案。

(1)所需的测量工具是: ;

(2)请在下图中画出测量示意图;

(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x。

19.解:(1)皮尺、标杆。

(2)测量示意图如图所示。

(3)如图,测得标杆DE=a,树和标杆的影长分别为AC=b,EF=c

∵△DEF∽△BAC,∴ ,

∴ ,∴ 。

20.梯形ABCD是拦水坝的横断面图,(图中 是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE

的比),∠B=60°,AB=6,AD=4,求拦水坝的横断面ABCD的面积。(结果保留三位有效

数字,参考数据: , )

20.52.0

六、(本大题满分8分)

21.某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点 C 处有生命迹象,已知废墟一侧地面上两探

测点A、B 相距 3 米,探测线与地面的夹角分别是30°和 60°(如图),试确定生命

所在点 C 的深度.(结果精确到0.1米,参考数据: )

21.

七、(本大题满分8分)

22.如图,AC是某市环城路的一段,AE,BF,CD都是南北方向的街道,其与环城路AC的交

叉路口分别是A,B,C.经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东

30°方向上,AB=2km,∠DAC=15°。

(1)求B、D之间的距离;

(2)求C、D之间的距离。

22.解:(1)如图,由题意得,∠EAD=45°,∠FBD=30°。

∴ ∠EAC=∠EAD+∠DAC =45°+15°=60°。

∵ AE∥BF∥CD,

∴ ∠FBC=∠EAC=60°.

∴ ∠DBC=30°。

又∵ ∠DBC=∠DAB+∠ADB,

∴ ∠ADB=15°。

∴ ∠DAB=∠ADB. ∴ BD=AB=2。

即B,D之间的距离为2km。

(2)过B作BO⊥DC,交其延长线于点O,

在Rt△DBO中,BD=2,∠DBO=60°。

∴ DO=2×sin60°= ,BO=2×cos60°=1。

在Rt△CBO中,∠CBO=30°,CO=BOtan30°= ,

∴ CD=DO-CO= (km)。

即C,D之间的距离为 km。

八、(本大题满分10分)

23.如图,某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救,便立即派

三名救生员前去营救.1号救生员从A点直接跳入海中;2号救生员沿岸边(岸边看成是

直线)向前跑到C点,再跳入海中;3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点最近的D

点,再跳入海中。救生员在岸上跑的速度都是6米/秒,在水中游泳的速度都是2米/秒。

若∠BAD=45°,∠BCD=60°,三名救生员同时从A点出发,请说明谁先到达营救地点B。

(参考数据 , )

23.解:在 中, 。

。 。

在 中, ,

。 。

1号救生员到达B点所用的时间为: (秒),

2号救生员到达B点所用的时间为: (秒),

3号救生员到达B点所用的时间为 (秒),

, 号救生员先到达营救地点B。

锐角三角形函数是什么?

1、锐角三角函数定义锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec),(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。

正弦等于对边比斜边,

余弦等于邻边比斜边

正切等于对边比邻边;

余切等于邻边比对边

正割等于斜边比邻边

余割等于斜边比对边

正切与余切互为倒数, 2、互余角的三角函数间的关系。sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,

tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα. 3、同角三角函数间的关系平方关系:

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

·积的关系:

sinα=tanα·cosα

cosα=cotα·sinα

tanα=sinα·secα

cotα=cosα·cscα

secα=tanα·cscα

cscα=secα·cotα

倒数关系:

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

余弦等于角A的邻边比斜边

正切等于对边比邻边,

(2)0°~90°的任意角的三角函数值,查三角函数表。

(3)锐角三角函数值的变化情况

(i)锐角三角函数值都是正值

(ii)当角度在0°~90°间变化时,

正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)

余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)

正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)

余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)

(iii)当角度在0°≤α≤90°间变化时,

0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,

当角度在0°<α<90°间变化时,

tanα>0, cotα>0.

“锐角三角函数”属于三角学,是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。从《数学课程标准》看,中学数学把三角学内容分成两个部分,第一部分放在义务教育第三学段,第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段,主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容,本套教科书安排了一章的内容,就是本章“锐角三角函数”。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分,包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容上看,还是从思考问题的方法上看,前一部分都是后一部分的重要基础,掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法,是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。

锐角三角函数的定义

取三角函数的符号;定号。定名:90°+α,符号看象限”.(或为“奇变偶不变。关于正负号有可口诀,即第一象限全部为正;一全二正弦,符号看象限”

2在kπ/中如果k为奇数时函数名不变,

cos(90°+α)=-sinα

这个非常神奇,其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同,余弦为负,将α看做锐角,所以应取余函数,三切四余弦,屡试不爽~

还有一个口诀“纵变横不变,那么90°+α是第二象限角。所以sin(90°+α)=cosα

,第二象限角正弦为正。也就是“象限定号。也就是“奇余偶同。)

比如,90°的终边在纵轴上:90°是90°的奇数倍,第三为正切为正,奇变偶不变”

定号法则

将α看做锐角(注意是“看做”),即cos,符号看象限”,按所得的角的象限:sin(90°+α),若为偶数时函数名变为相反的函数名,第二象限角的正弦为正,所以函数名变为相反的函数名,例如。正负号看原函数中α所在象限的正负号,第四象限余弦为正:将α看做锐角,那么90°+α是第二象限角,第二象限角的正弦为正f(β)→

f(β)=↘

β↓

sinβ

cosβ

tanβ

cotβ

secβ

cscβ

360k+α

sinα

cosα

tanα

cotα

secα

cscα

90°-α

cosα

sinα

cotα

tanα

cscα

secα

90°+α

cosα

-sinα

-cotα

-tanα

-cscα

secα

180°-α

sinα

-cosα

-tanα

-cotα

-secα

cscα

180°+α

-sinα

-cosα

tanα

cotα

-secα

-cscα

270°-α

-cosα

-sinα

cotα

tanα

-cscα

-secα

270°+α

-cosα

sinα

-cotα

-tanα

cscα

-secα

360°-α

-sinα

cosα

-tanα

-cotα

secα

-cscα

-α

-sinα

cosα

-tanα

-cotα

secα

-cscα

定名法则

90°的奇数倍+α的三角函数

三角函数中的坡度是指什么 是指sincos还是tan

坡度是地表单元陡缓的程度,通常把坡面的垂直高度h和水平距离l的比叫做坡度(

或叫做坡比)用字母i表示.【即坡角的正切值(可写作:i=tan坡角)】

以上就是关于锐角三角形函数坡度的定义,锐角三角函数知识点的全部内容,以及坡度的定义的相关内容,希望能够帮到您。

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